Volumen de la pirámide

Posteado por Ricardo Marín 4to "A"

Pirámides y prismas En un prisma se distinguen dos clases de caras: por un lado, la base y la tapa; por otro, las caras laterales. La base y la tapa son caras paralelas poligonales que pueden tener cualquier cantidad de lados. Las caras laterales son siempre paralelogramos (si el prisma es recto —es decir, si la medida de las aristas laterales coincide con la altura—, rectángulos). Cuando la perpendicular a la base en un punto no tiene como intersección con la tapa a un punto homólogo, el prisma se llama oblicuo. Si las caras son todas iguales —si la base y la tapa son polígonos regulares— el prisma se llama regular. prisma pentagonal irregular oblicuo prisma pentagonal irregular recto prisma hexagonal regular recto Dado que un polígono no puede tener menos de tres lados, un prisma no puede tener menos de tres caras laterales. El prisma que hace más fácil el estudio de las pirámides es el de base triangular. prisma triangular irregular oblicuo Un prisma de base triangular puede ser dividido en tres pirámides. Esto es lo que se muestra en el conjunto de figuras siguientes, donde la separación de las partes se hace en dos etapas. prisma dividido en tres partes separación de las partes en dos etapas Lo interesante de esto es que las tres partes tienen el mismo tamaño. El primero que hizo esta observación fue Demócrito de Abdera, quien además de filósofo y físico era un gran geómetra. las tres pirámides tienen el mismo volumen A continuación se presenta en detalle la demostración, haciendo uso de esquemas apropiados para dar nombre a los vértices. Volumen de la pirámide Las figuras siguientes, tomadas del texto clásico de las profesoras Repetto, Linskens y Fesquet, muestran los planos que se usaron para cortar el prisma en tres partes (ANC y MNC) y las tres partes separadas (N ABC, C MNP y N ACM). prisma pentagonal irregular oblicuo prisma hexagonal regular recto La división realizada se puede expresar así: prisma ABCPMN  =  pirámide N ABC + pirámide C MNP + pirámide N ACM. Las pirámides N ABC y C MNP tienen bases de igual medida (la de la base del prisma) y la misma altura (la del prisma). Por lo tanto, pirámide N ABC  =  pirámide C MNP. Las pirámides C MNP (o N MCP) y N ACM tienen la misma altura (la distancia del punto N al plano MACP) y bases equivalentes (triángulos MAC y MCP, determinados en el paralelogramo MACP por la diagonal MC). Por lo tanto, pirámide C MNP  =  pirámide N ACM. En resumen, pirámide N ABC  =  pirámide C MNP  =  pirámide N ACM. Todo prisma triangular es equivalente a la suma de tres pirámides triangulares, cada una de ellas equivalente a las pirámides que tienen base y altura igual a la del prisma. (RLF) En consecuencia : volumen de la pirámide (triángulo ABC, h)  =  1/3 volumen del prisma (triángulo ABC, h). Esta fórmula es muy importante porque todo prisma puede ser reducido a un conjunto de prismas triangulares. prisma pentagonal irregular oblicuo descompuesto en cinco prismas triangulares irregulares oblicuos Para cada prisma triangular se cumple la ecuación anterior. Por lo tanto, para el conjunto, se puede escribir lo siguiente: volumen del prisma poligonal  =  suma de los volúmenes de los prismas triangulares de altura h; volumen del prisma triangular de altura h  =  3 volumen de la pirámide triangular de altura h; volumen del prisma poligonal  =  3 suma de los volúmenes de las pirámides triangulares de altura h; volumen del prisma poligonal  =  3 área del polígono de la base x h. De aquí se deduce que la fórmula: volumen de la pirámide (polígono, h)  =  1/3 volumen del prisma (polígono, h) vale para las pirámides de cualquier base. Sacado de http://www.luventicus.org/articulos/03A014/index.html